समाधान {l}{3x+5y=-1}{3x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 1 } \\ { 3 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+5y=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$3x=-5y-1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-1\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

\frac{-5y-1}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

3 लाई \frac{-5y-1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5y-1+y=3$$

y मा -5y जोड्नुहोस्

$$-4y-1=3$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$-4y=4$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{5}{3} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5-1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{3} लाई \frac{5}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 3}&-\frac{5}{3-5\times 3}\\-\frac{3}{3-5\times 3}&\frac{3}{3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{5}{12}\times 3\\\frac{1}{4}\left(-1\right)-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x+5y=-1 बाट 3x+y=3 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x+5y-y=-1-3$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$5y-y=-1-3$$

-y मा 5y जोड्नुहोस्

$$4y=-1-3$$

-3 मा -1 जोड्नुहोस्

$$4y=-4$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

3x+y=3 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-1=3$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$3x=4$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$