समाधान {l}{3x+3y=98}{8x+3y=158}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 98 } \\ { 8 x + 3 y = 158 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=12$$

$$y = \frac{62}{3} = 20\frac{2}{3} \approx 20.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+3y=98,8x+3y=158$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+3y=98$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$3x=-3y+98$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+98\right)$$

\frac{1}{3} लाई -3y+98 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-y+\frac{98}{3}$$

-y+\frac{98}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 8x+3y=158 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-y+\frac{98}{3}\right)+3y=158$$

8 लाई -y+\frac{98}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8y+\frac{784}{3}+3y=158$$

3y मा -8y जोड्नुहोस्

$$-5y+\frac{784}{3}=158$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{784}{3} घटाउनुहोस्।

$$-5y=-\frac{310}{3}$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{62}{3}$$

x=-y+\frac{98}{3} मा y लाई \frac{62}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{62}{3}+\frac{98}{3}$$

-1 लाई \frac{62}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-62+98}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{98}{3} लाई -\frac{62}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=12$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=12,y=\frac{62}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y=98,8x+3y=158$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-3\times 8}&-\frac{3}{3\times 3-3\times 8}\\-\frac{8}{3\times 3-3\times 8}&\frac{3}{3\times 3-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{8}{15}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 98+\frac{1}{5}\times 158\\\frac{8}{15}\times 98-\frac{1}{5}\times 158\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\\frac{62}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=12,y=\frac{62}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+3y=98,8x+3y=158$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x+3y=98 बाट 8x+3y=158 घटाउनुहोस्।

$$3x-8x+3y-3y=98-158$$

-3y मा 3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3y र -3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$3x-8x=98-158$$

-8x मा 3x जोड्नुहोस्

$$-5x=98-158$$

-158 मा 98 जोड्नुहोस्

$$-5x=-60$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=12$$

8x+3y=158 मा x लाई 12 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8\times 12+3y=158$$

8 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$96+3y=158$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 96 घटाउनुहोस्।

$$3y=62$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{62}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=12,y=\frac{62}{3}$$