समाधान {l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=3$$

$$b=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+7b=44$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7b घटाउनुहोस्।

$$3a=-7b+44$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

\frac{1}{3} लाई -7b+44 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

\frac{-7b+44}{3} लाई a ले अर्को समीकरण -5a+6b=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

-5 लाई \frac{-7b+44}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

6b मा \frac{35b}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{220}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{53}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=5$$

a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3} मा b लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

-\frac{7}{3} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{44}{3} लाई -\frac{35}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=3,b=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

3a र -5a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -15a-35b=-220 बाट -15a+18b=45 घटाउनुहोस्।

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

15a मा -15a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -15a र 15a राशी रद्द हुन्छन्।

$$-35b-18b=-220-45$$

-18b मा -35b जोड्नुहोस्

$$-53b=-220-45$$

-45 मा -220 जोड्नुहोस्

$$-53b=-265$$

दुबैतिर -53 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=5$$

-5a+6b=15 मा b लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-5a+6\times 5=15$$

6 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5a+30=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30 घटाउनुहोस्।

$$-5a=-15$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=5$$