समाधान {l}{3a+4c=1}{2a-c=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 4 c = 1 } \\ { 2 a - c = 0 } \end{array} \right.$$

a, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

$$c=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+4c=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4c घटाउनुहोस्।

$$3a=-4c+1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-4c+1\right)$$

\frac{1}{3} लाई -4c+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}$$

\frac{-4c+1}{3} लाई a ले अर्को समीकरण 2a-c=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}\right)-c=0$$

2 लाई \frac{-4c+1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{3}c+\frac{2}{3}-c=0$$

-c मा -\frac{8c}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{3}c+\frac{2}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{11}{3}c=-\frac{2}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$c=\frac{2}{11}$$

a=-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3} मा c लाई \frac{2}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{4}{3}\times \frac{2}{11}+\frac{1}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{3} लाई \frac{2}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=-\frac{8}{33}+\frac{1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{3} लाई -\frac{8}{33} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4\times 2}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-4\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र c लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

3a र 2a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3a+2\times 4c=2,3\times 2a+3\left(-1\right)c=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6a+8c=2,6a-3c=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6a+8c=2 बाट 6a-3c=0 घटाउनुहोस्।

$$6a-6a+8c+3c=2$$

-6a मा 6a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6a र -6a राशी रद्द हुन्छन्।

$$8c+3c=2$$

3c मा 8c जोड्नुहोस्

$$11c=2$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=\frac{2}{11}$$

2a-c=0 मा c लाई \frac{2}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2a-\frac{2}{11}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{11} जोड्नुहोस्।

$$2a=\frac{2}{11}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$