समाधान {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+14b=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14b घटाउनुहोस्।

$$3a=-14b+4$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

\frac{1}{3} लाई -14b+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

\frac{-14b+4}{3} लाई a ले अर्को समीकरण 13a+19b=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

13 लाई \frac{-14b+4}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

19b मा -\frac{182b}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{52}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{125}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3} मा b लाई \frac{13}{125} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{14}{3} लाई \frac{13}{125} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{4}{3} लाई -\frac{182}{375} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=\frac{106}{125}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a र 13a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 13 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 39a+182b=52 बाट 39a+57b=39 घटाउनुहोस्।

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

-39a मा 39a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 39a र -39a राशी रद्द हुन्छन्।

$$182b-57b=52-39$$

-57b मा 182b जोड्नुहोस्

$$125b=52-39$$

-39 मा 52 जोड्नुहोस्

$$125b=13$$

दुबैतिर 125 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13 मा b लाई \frac{13}{125} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

19 लाई \frac{13}{125} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{247}{125} घटाउनुहोस्।

$$13a=\frac{1378}{125}$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{106}{125}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$