समाधान {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 3x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+3y+4y=-18$$

7y प्राप्त गर्नको लागि 3y र 4y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+7y=-18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \frac{1}{2} लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}x र \frac{1}{6}x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}y र -\frac{1}{6}y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-x+7y=-18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$-x=-7y-18$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-1 लाई -7y-18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=7y+18$$

7y+18 लाई x ले अर्को समीकरण \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{2}{3} लाई 7y+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{3} मा \frac{14y}{3} जोड्नुहोस्

$$5y+12=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$5y=-10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

x=7y+18 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=7\left(-2\right)+18$$

7 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-14+18$$

-14 मा 18 जोड्नुहोस्

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 3x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+3y+4y=-18$$

7y प्राप्त गर्नको लागि 3y र 4y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+7y=-18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \frac{1}{2} लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}x र \frac{1}{6}x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}y र -\frac{1}{6}y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 3x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+3y+4y=-18$$

7y प्राप्त गर्नको लागि 3y र 4y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+7y=-18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \frac{1}{2} लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}x र \frac{1}{6}x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}y र -\frac{1}{6}y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x र \frac{2x}{3} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{2}{3} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 बाट -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{2x}{3} मा -\frac{2x}{3} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{2x}{3} र \frac{2x}{3} राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{y}{3} मा \frac{14y}{3} जोड्नुहोस्

$$5y=-12+2$$

2 मा -12 जोड्नुहोस्

$$5y=-10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

\frac{1}{3} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=-2$$