समाधान {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+9=2x-2y$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x प्राप्त गर्नको लागि 3x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+3y+9=-2y$$

दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$x+3y+9+2y=0$$

5y प्राप्त गर्नको लागि 3y र 2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+5y+9=0$$

दुवै छेउबाट 9 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$x+5y=-9$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=3x-3y-4$$

दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -3x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+2y=-3y-4$$

दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$-x+2y+3y=-4$$

5y प्राप्त गर्नको लागि 2y र 3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+5y=-4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+5y=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$x=-5y-9$$

-5y-9 लाई x ले अर्को समीकरण -x+5y=-4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-1 लाई -5y-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+9+5y=-4$$

5y मा 5y जोड्नुहोस्

$$10y+9=-4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$10y=-13$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{13}{10}$$

x=-5y-9 मा y लाई -\frac{13}{10} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-5 लाई -\frac{13}{10} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{2}-9$$

\frac{13}{2} मा -9 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{5}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+9=2x-2y$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x प्राप्त गर्नको लागि 3x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+3y+9=-2y$$

दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$x+3y+9+2y=0$$

5y प्राप्त गर्नको लागि 3y र 2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+5y+9=0$$

दुवै छेउबाट 9 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$x+5y=-9$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=3x-3y-4$$

दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -3x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+2y=-3y-4$$

दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$-x+2y+3y=-4$$

5y प्राप्त गर्नको लागि 2y र 3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+5y=-4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+9=2x-2y$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x प्राप्त गर्नको लागि 3x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+3y+9=-2y$$

दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$x+3y+9+2y=0$$

5y प्राप्त गर्नको लागि 3y र 2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+5y+9=0$$

दुवै छेउबाट 9 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$x+5y=-9$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=3x-3y-4$$

दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -3x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+2y=-3y-4$$

दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$-x+2y+3y=-4$$

5y प्राप्त गर्नको लागि 2y र 3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x+5y=-4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+5y=-9 बाट -x+5y=-4 घटाउनुहोस्।

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

-5y मा 5y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5y र -5y राशी रद्द हुन्छन्।

$$x+x=-9+4$$

x मा x जोड्नुहोस्

$$2x=-9+4$$

4 मा -9 जोड्नुहोस्

$$2x=-5$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}$$

-x+5y=-4 मा x लाई -\frac{5}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-1 लाई -\frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{2} घटाउनुहोस्।

$$5y=-\frac{13}{2}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{13}{10}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$