समाधान {l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

2 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x प्राप्त गर्नको लागि 3x र 2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x+3y-2y=18$$

y प्राप्त गर्नको लागि 3y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x+y=18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2x+2y-x+y=-4$$

x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+2y+y=-4$$

3y प्राप्त गर्नको लागि 2y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+3y=-4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+y=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x=-y+18$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

\frac{1}{5} लाई -y+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

\frac{-y+18}{5} लाई x ले अर्को समीकरण x+3y=-4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

3y मा -\frac{y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{18}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{19}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5} मा y लाई -\frac{19}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{5} लाई -\frac{19}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{18}{5} लाई \frac{19}{35} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{29}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

2 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x प्राप्त गर्नको लागि 3x र 2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x+3y-2y=18$$

y प्राप्त गर्नको लागि 3y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x+y=18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2x+2y-x+y=-4$$

x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+2y+y=-4$$

3y प्राप्त गर्नको लागि 2y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+3y=-4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

2 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x प्राप्त गर्नको लागि 3x र 2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x+3y-2y=18$$

y प्राप्त गर्नको लागि 3y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x+y=18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2x+2y-x+y=-4$$

x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+2y+y=-4$$

3y प्राप्त गर्नको लागि 2y र y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+3y=-4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

5x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5x+y=18 बाट 5x+15y=-20 घटाउनुहोस्।

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y-15y=18+20$$

-15y मा y जोड्नुहोस्

$$-14y=18+20$$

20 मा 18 जोड्नुहोस्

$$-14y=38$$

दुबैतिर -14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{19}{7}$$

x+3y=-4 मा y लाई -\frac{19}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

3 लाई -\frac{19}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{57}{7} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{29}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$