समाधान {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई 5x-2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 लाई 2y+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 प्राप्त गर्नको लागि 21 बाट -6 घटाउनुहोस्।

$$15x-27-14y=2$$

दुबै छेउहरूमा 27 थप्नुहोस्।

$$15x-14y=2+27$$

29 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 27 जोड्नुहोस्।

$$15x-14y=29$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 3x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 लाई 4-9x ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-2y-23=12-27x$$

दुबै छेउहरूमा 27x थप्नुहोस्।

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x प्राप्त गर्नको लागि 6x र 27x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$33x-2y-23=12$$

दुबै छेउहरूमा 23 थप्नुहोस्।

$$33x-2y=12+23$$

35 प्राप्त गर्नको लागि 12 र 23 जोड्नुहोस्।

$$33x-2y=35$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$15x-14y=29$$

समीकरणको दुबैतिर 14y जोड्नुहोस्।

$$15x=14y+29$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} लाई 14y+29 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

\frac{14y+29}{15} लाई x ले अर्को समीकरण 33x-2y=35 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 लाई \frac{14y+29}{15} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

-2y मा \frac{154y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{319}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{144}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{29}{15} लाई -\frac{14}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई 5x-2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 लाई 2y+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 प्राप्त गर्नको लागि 21 बाट -6 घटाउनुहोस्।

$$15x-27-14y=2$$

दुबै छेउहरूमा 27 थप्नुहोस्।

$$15x-14y=2+27$$

29 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 27 जोड्नुहोस्।

$$15x-14y=29$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 3x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 लाई 4-9x ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-2y-23=12-27x$$

दुबै छेउहरूमा 27x थप्नुहोस्।

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x प्राप्त गर्नको लागि 6x र 27x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$33x-2y-23=12$$

दुबै छेउहरूमा 23 थप्नुहोस्।

$$33x-2y=12+23$$

35 प्राप्त गर्नको लागि 12 र 23 जोड्नुहोस्।

$$33x-2y=35$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई 5x-2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 लाई 2y+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 प्राप्त गर्नको लागि 21 बाट -6 घटाउनुहोस्।

$$15x-27-14y=2$$

दुबै छेउहरूमा 27 थप्नुहोस्।

$$15x-14y=2+27$$

29 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 27 जोड्नुहोस्।

$$15x-14y=29$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 3x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 लाई 4-9x ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-2y-23=12-27x$$

दुबै छेउहरूमा 27x थप्नुहोस्।

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x प्राप्त गर्नको लागि 6x र 27x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$33x-2y-23=12$$

दुबै छेउहरूमा 23 थप्नुहोस्।

$$33x-2y=12+23$$

35 प्राप्त गर्नको लागि 12 र 23 जोड्नुहोस्।

$$33x-2y=35$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x र 33x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 33 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 15 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

सरल गर्नुहोस्।

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 495x-462y=957 बाट 495x-30y=525 घटाउनुहोस्।

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

-495x मा 495x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 495x र -495x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-462y+30y=957-525$$

30y मा -462y जोड्नुहोस्

$$-432y=957-525$$

-525 मा 957 जोड्नुहोस्

$$-432y=432$$

दुबैतिर -432 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

33x-2y=35 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$33x+2=35$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$33x=33$$

दुबैतिर 33 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$