समाधान {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=100$$

$$y=400$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$25x+35y=16500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 35y घटाउनुहोस्।

$$25x=-35y+16500$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} लाई -35y+16500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

-\frac{7y}{5}+660 लाई x ले अर्को समीकरण x+y=500 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

y मा -\frac{7y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 660 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{2}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=400$$

x=-\frac{7}{5}y+660 मा y लाई 400 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} लाई 400 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-560+660$$

-560 मा 660 जोड्नुहोस्

$$x=100$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=100,y=400$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=100,y=400$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 25 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

सरल गर्नुहोस्।

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 25x+35y=16500 बाट 25x+25y=12500 घटाउनुहोस्।

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

-25x मा 25x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 25x र -25x राशी रद्द हुन्छन्।

$$35y-25y=16500-12500$$

-25y मा 35y जोड्नुहोस्

$$10y=16500-12500$$

-12500 मा 16500 जोड्नुहोस्

$$10y=4000$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=400$$

x+y=500 मा y लाई 400 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+400=500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 400 घटाउनुहोस्।

$$x=100$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=100,y=400$$