समाधान {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$25x+110y=6100$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 110y घटाउनुहोस्।

$$25x=-110y+6100$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{25} लाई -110y+6100 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

-\frac{22y}{5}+244 लाई x ले अर्को समीकरण x+y=50 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

y मा -\frac{22y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 244 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{17}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{970}{17}$$

x=-\frac{22}{5}y+244 मा y लाई \frac{970}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{22}{5} लाई \frac{970}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

-\frac{4268}{17} मा 244 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{120}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 25 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

सरल गर्नुहोस्।

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 25x+110y=6100 बाट 25x+25y=1250 घटाउनुहोस्।

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

-25x मा 25x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 25x र -25x राशी रद्द हुन्छन्।

$$110y-25y=6100-1250$$

-25y मा 110y जोड्नुहोस्

$$85y=6100-1250$$

-1250 मा 6100 जोड्नुहोस्

$$85y=4850$$

दुबैतिर 85 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{970}{17}$$

x+y=50 मा y लाई \frac{970}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+\frac{970}{17}=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{970}{17} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{120}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$