समाधान {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$2x-y-4x=-3$$

-2x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x+y=\frac{1}{2}$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$-2x=y-3$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{2} लाई y-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

\frac{-y+3}{2} लाई x ले अर्को समीकरण x+y=\frac{1}{2} मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

y मा -\frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{2}y=-1$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=1+\frac{3}{2}$$

1 मा \frac{3}{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{5}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$2x-y-4x=-3$$

-2x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x+y=\frac{1}{2}$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$2x-y-4x=-3$$

-2x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x+y=\frac{1}{2}$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2x-y=-3 बाट -2x-2y=-1 घटाउनुहोस्।

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

2x मा -2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2x र 2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-y+2y=-3+1$$

2y मा -y जोड्नुहोस्

$$y=-3+1$$

1 मा -3 जोड्नुहोस्

$$y=-2$$

x+y=\frac{1}{2} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-2=\frac{1}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$