समाधान {l}{2x-6y=7}{3x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-6y=7,3x+2y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-6y=7$$

समीकरणको दुबैतिर 6y जोड्नुहोस्।

$$2x=6y+7$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+7\right)$$

\frac{1}{2} लाई 6y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=3y+\frac{7}{2}$$

3y+\frac{7}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(3y+\frac{7}{2}\right)+2y=5$$

3 लाई 3y+\frac{7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9y+\frac{21}{2}+2y=5$$

2y मा 9y जोड्नुहोस्

$$11y+\frac{21}{2}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{21}{2} घटाउनुहोस्।

$$11y=-\frac{11}{2}$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=3y+\frac{7}{2} मा y लाई -\frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=3\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}$$

3 लाई -\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{2} लाई -\frac{3}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=-\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y=7,3x+2y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-6\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7+\frac{3}{11}\times 5\\-\frac{3}{22}\times 7+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=-\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-6y=7,3x+2y=5$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\left(-6\right)y=3\times 7,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-18y=21,6x+4y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-18y=21 बाट 6x+4y=10 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-18y-4y=21-10$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-18y-4y=21-10$$

-4y मा -18y जोड्नुहोस्

$$-22y=21-10$$

-10 मा 21 जोड्नुहोस्

$$-22y=11$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{2}$$

3x+2y=5 मा y लाई -\frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

2 लाई -\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-1=5$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$3x=6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=-\frac{1}{2}$$