समाधान {l}{2x-5y=7}{4x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-5y=7,4x+3y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-5y=7$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$2x=5y+7$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{2} लाई 5y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

\frac{5y+7}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+3y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+3y=1$$

4 लाई \frac{5y+7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$10y+14+3y=1$$

3y मा 10y जोड्नुहोस्

$$13y+14=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14 घटाउनुहोस्।

$$13y=-13$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

x=\frac{5}{2}y+\frac{7}{2} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{7}{2}$$

\frac{5}{2} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-5+7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{2} लाई -\frac{5}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-5y=7,4x+3y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}\times 7+\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{1}{13}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-5y=7,4x+3y=1$$

2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 7,2\times 4x+2\times 3y=2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x-20y=28,8x+6y=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x-20y=28 बाट 8x+6y=2 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x-20y-6y=28-2$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-20y-6y=28-2$$

-6y मा -20y जोड्नुहोस्

$$-26y=28-2$$

-2 मा 28 जोड्नुहोस्

$$-26y=26$$

दुबैतिर -26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

4x+3y=1 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+3\left(-1\right)=1$$

3 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-3=1$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$4x=4$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$