समाधान {l}{2x-3y=3}{x+2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 3 } \\ { x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

$$y=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=3,x+2y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=3$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$2x=3y+3$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+3\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

\frac{3+3y}{2} लाई x ले अर्को समीकरण x+2y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}+2y=2$$

2y मा \frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{2}y=\frac{1}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1}{7}$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{3}{2} मा y लाई \frac{1}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{7}+\frac{3}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई \frac{1}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{14}+\frac{3}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{2} लाई \frac{3}{14} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{12}{7},y=\frac{1}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-3y=3,x+2y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{2}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{7},y=\frac{1}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-3y=3,x+2y=2$$

2x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=3,2x+2\times 2y=2\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=3,2x+4y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-3y=3 बाट 2x+4y=4 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x-3y-4y=3-4$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-4y=3-4$$

-4y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-7y=3-4$$

-4 मा 3 जोड्नुहोस्

$$-7y=-1$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{7}$$

x+2y=2 मा y लाई \frac{1}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+2\times \frac{1}{7}=2$$

2 लाई \frac{1}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+\frac{2}{7}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{7} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{12}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{12}{7},y=\frac{1}{7}$$