समाधान {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=1$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$2x=3y+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

\frac{3y+1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+5y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

3 लाई \frac{3y+1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

5y मा \frac{9y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{19}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{1}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} मा y लाई -\frac{1}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई -\frac{1}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई -\frac{3}{38} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-9y=3 बाट 6x+10y=2 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-9y-10y=3-2$$

-10y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-19y=3-2$$

-2 मा 3 जोड्नुहोस्

$$-19y=1$$

दुबैतिर -19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{19}$$

3x+5y=1 मा y लाई -\frac{1}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

5 लाई -\frac{1}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{19} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{24}{19}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$