समाधान {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

2 लाई x+1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 6 जोड्नुहोस्।

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

3 लाई 5-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+8=15-3y$$

दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$2x+8+3y=15$$

दुवै छेउबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$2x+3y=15-8$$

7 प्राप्त गर्नको लागि 8 बाट 15 घटाउनुहोस्।

$$2x+3y=7$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=1$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$2x=3y+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

\frac{3y+1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+3y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

2 लाई \frac{3y+1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3y+1+3y=7$$

3y मा 3y जोड्नुहोस्

$$6y+1=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$6y=6$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3+1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{3}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

2 लाई x+1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 6 जोड्नुहोस्।

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

3 लाई 5-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+8=15-3y$$

दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$2x+8+3y=15$$

दुवै छेउबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$2x+3y=15-8$$

7 प्राप्त गर्नको लागि 8 बाट 15 घटाउनुहोस्।

$$2x+3y=7$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

2 लाई x+1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 6 जोड्नुहोस्।

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

3 लाई 5-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+8=15-3y$$

दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$2x+8+3y=15$$

दुवै छेउबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$2x+3y=15-8$$

7 प्राप्त गर्नको लागि 8 बाट 15 घटाउनुहोस्।

$$2x+3y=7$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-3y=1 बाट 2x+3y=7 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-3y=1-7$$

-3y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-6y=1-7$$

-7 मा 1 जोड्नुहोस्

$$-6y=-6$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

2x+3y=7 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+3=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$2x=4$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=1$$