समाधान {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+9y=19$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9y घटाउनुहोस्।

$$2x=-9y+19$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

\frac{1}{2} लाई -9y+19 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

\frac{-9y+19}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+my=53 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

4 लाई \frac{-9y+19}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-18y+38+my=53$$

my मा -18y जोड्नुहोस्

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 38 घटाउनुहोस्।

$$\left(m-18\right)y=15$$

दुबैतिर -18+m ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} मा y लाई \frac{15}{-18+m} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

-\frac{9}{2} लाई \frac{15}{-18+m} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

-\frac{135}{2\left(-18+m\right)} मा \frac{19}{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+36y=76 बाट 8x+2my=106 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-2my मा 36y जोड्नुहोस्

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

-106 मा 76 जोड्नुहोस्

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

दुबैतिर 36-2m ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53 मा y लाई -\frac{15}{18-m} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

m लाई -\frac{15}{18-m} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15m}{18-m} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$