समाधान {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+8y=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$2x=-8y+16$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

\frac{1}{2} लाई -8y+16 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-4y+8$$

-4y+8 लाई x ले अर्को समीकरण -x+2y+11=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

-1 लाई -4y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4y-8+2y+11=0$$

2y मा 4y जोड्नुहोस्

$$6y-8+11=0$$

11 मा -8 जोड्नुहोस्

$$6y+3=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$6y=-3$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-4y+8 मा y लाई -\frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

-4 लाई -\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2+8$$

2 मा 8 जोड्नुहोस्

$$x=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2x-8y=-16 बाट -2x+4y+22=0 घटाउनुहोस्।

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

2x मा -2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2x र 2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8y-4y-22=-16$$

-4y मा -8y जोड्नुहोस्

$$-12y-22=-16$$

समीकरणको दुबैतिर 22 जोड्नुहोस्।

$$-12y=6$$

दुबैतिर -12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{2}$$

-x+2y+11=0 मा y लाई -\frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

2 लाई -\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x-1+11=0$$

11 मा -1 जोड्नुहोस्

$$-x+10=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$-x=-10$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$