समाधान {l}{2x+3y=6}{3x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{12}{11} = 1\frac{1}{11} \approx 1.090909091$$

$$y = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11} \approx 1.272727273$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+3y=6,3x-y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+3y=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$2x=-3y+6$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

-\frac{3y}{2}+3 लाई x ले अर्को समीकरण 3x-y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-y=2$$

3 लाई -\frac{3y}{2}+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{2}y+9-y=2$$

-y मा -\frac{9y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{2}y+9=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{11}{2}y=-7$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{14}{11}$$

x=-\frac{3}{2}y+3 मा y लाई \frac{14}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{11}+3$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई \frac{14}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{21}{11}+3$$

-\frac{21}{11} मा 3 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{12}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{12}{11},y=\frac{14}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+3y=6,3x-y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{11}\times 2\\\frac{3}{11}\times 6-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}\\\frac{14}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{11},y=\frac{14}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+3y=6,3x-y=2$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+9y=18,6x-2y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+9y=18 बाट 6x-2y=4 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+9y+2y=18-4$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y+2y=18-4$$

2y मा 9y जोड्नुहोस्

$$11y=18-4$$

-4 मा 18 जोड्नुहोस्

$$11y=14$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{14}{11}$$

3x-y=2 मा y लाई \frac{14}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-\frac{14}{11}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{11} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{36}{11}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{12}{11},y=\frac{14}{11}$$