समाधान {l}{2x+3y=13}{6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+3y=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$2x=-3y+13$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

\frac{-3y+13}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 6x+y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

6 लाई \frac{-3y+13}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9y+39+y=11$$

y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-8y+39=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 39 घटाउनुहोस्।

$$-8y=-28$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{2}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} मा y लाई \frac{7}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{2}+\frac{13}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई \frac{7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{21}{4}+\frac{13}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{2} लाई -\frac{21}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 13+\frac{3}{16}\times 11\\\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

2x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 13,2\times 6x+2y=2\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+18y=78,12x+2y=22$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+18y=78 बाट 12x+2y=22 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+18y-2y=78-22$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$18y-2y=78-22$$

-2y मा 18y जोड्नुहोस्

$$16y=78-22$$

-22 मा 78 जोड्नुहोस्

$$16y=56$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{2}$$

6x+y=11 मा y लाई \frac{7}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+\frac{7}{2}=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{2} घटाउनुहोस्।

$$6x=\frac{15}{2}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$