समाधान {l}{2x+3y=1}{3x-4y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x - 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{13}{17}\approx 0.764705882$$

$$y=-\frac{3}{17}\approx -0.176470588$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+3y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$2x=-3y+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

\frac{-3y+1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x-4y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-4y=3$$

3 लाई \frac{-3y+1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}-4y=3$$

-4y मा -\frac{9y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{17}{2}y+\frac{3}{2}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{17}{2}y=\frac{3}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{17}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{3}{17}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} मा y लाई -\frac{3}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई -\frac{3}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{34}+\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{9}{34} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 3\\\frac{3}{17}-\frac{2}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{17}\\-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+9y=3,6x-8y=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+9y=3 बाट 6x-8y=6 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+9y+8y=3-6$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y+8y=3-6$$

8y मा 9y जोड्नुहोस्

$$17y=3-6$$

-6 मा 3 जोड्नुहोस्

$$17y=-3$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{17}$$

3x-4y=3 मा y लाई -\frac{3}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-4\left(-\frac{3}{17}\right)=3$$

-4 लाई -\frac{3}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{12}{17}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12}{17} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{39}{17}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$