समाधान {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

p, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको p लाई अलग गरी p का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2p+3x=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$2p=-3x+10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3x+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

-\frac{3x}{2}+5 लाई p ले अर्को समीकरण p-x+2=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

-x मा -\frac{3x}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

2 मा 5 जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{14}{5}$$

p=-\frac{3}{2}x+5 मा x लाई \frac{14}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई \frac{14}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

-\frac{21}{5} मा 5 जोड्नुहोस्

$$p=\frac{4}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू p र x लाई ता्नुहोस्।

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

2p र p लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2p+3x=10 बाट 2p-2x+4=0 घटाउनुहोस्।

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

-2p मा 2p जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2p र -2p राशी रद्द हुन्छन्।

$$3x+2x-4=10$$

2x मा 3x जोड्नुहोस्

$$5x-4=10$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$5x=14$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{14}{5}$$

p-x+2=0 मा x लाई \frac{14}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

2 मा -\frac{14}{5} जोड्नुहोस्

$$p-\frac{4}{5}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{5} जोड्नुहोस्।

$$p=\frac{4}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$