समाधान {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

p, m को लागि हल गर्नुहोस्

$$p=-2$$

$$m=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको p लाई अलग गरी p का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2p+3m=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3m घटाउनुहोस्।

$$2p=-3m+8$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3m+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

-\frac{3m}{2}+4 लाई p ले अर्को समीकरण p+2m=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

2m मा -\frac{3m}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{2}m=2$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$m=4$$

p=-\frac{3}{2}m+4 मा m लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

-\frac{3}{2} लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p=-6+4$$

-6 मा 4 जोड्नुहोस्

$$p=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=-2,m=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू p र m लाई ता्नुहोस्।

$$p=-2,m=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

2p र p लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2p+3m=8 बाट 2p+4m=12 घटाउनुहोस्।

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

-2p मा 2p जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2p र -2p राशी रद्द हुन्छन्।

$$3m-4m=8-12$$

-4m मा 3m जोड्नुहोस्

$$-m=8-12$$

-12 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-m=-4$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=4$$

p+2m=6 मा m लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p+2\times 4=6$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p+8=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$p=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=-2,m=4$$