समाधान {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4n घटाउनुहोस्।

$$-m+5-4n=0$$

दुवै छेउबाट 5 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-m-4n=-5$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2m-3n=130$$

समीकरणको दुबैतिर 3n जोड्नुहोस्।

$$2m=3n+130$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3n+130 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

\frac{3n}{2}+65 लाई m ले अर्को समीकरण -m-4n=-5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

-1 लाई \frac{3n}{2}+65 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

-4n मा -\frac{3n}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

समीकरणको दुबैतिर 65 जोड्नुहोस्।

$$-\frac{11}{2}n=60$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$n=-\frac{120}{11}$$

m=\frac{3}{2}n+65 मा n लाई -\frac{120}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई -\frac{120}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

-\frac{180}{11} मा 65 जोड्नुहोस्

$$m=\frac{535}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4n घटाउनुहोस्।

$$-m+5-4n=0$$

दुवै छेउबाट 5 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-m-4n=-5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4n घटाउनुहोस्।

$$-m+5-4n=0$$

दुवै छेउबाट 5 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-m-4n=-5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m र -m लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2m+3n=-130 बाट -2m-8n=-10 घटाउनुहोस्।

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

2m मा -2m जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2m र 2m राशी रद्द हुन्छन्।

$$3n+8n=-130+10$$

8n मा 3n जोड्नुहोस्

$$11n=-130+10$$

10 मा -130 जोड्नुहोस्

$$11n=-120$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-\frac{120}{11}$$

-m-4n=-5 मा n लाई -\frac{120}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-4 लाई -\frac{120}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{480}{11} घटाउनुहोस्।

$$-m=-\frac{535}{11}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{535}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$