समाधान {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2m+3n=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3n घटाउनुहोस्।

$$2m=-3n+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3n+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

\frac{-3n+1}{2} लाई m ले अर्को समीकरण 7m+3n=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

7 लाई \frac{-3n+1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

3n मा -\frac{21n}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{15}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$n=-\frac{1}{3}$$

m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} मा n लाई -\frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई -\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$m=\frac{1+1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{1}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$m=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2m+3n=1 बाट 7m+3n=6 घटाउनुहोस्।

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

-3n मा 3n जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3n र -3n राशी रद्द हुन्छन्।

$$2m-7m=1-6$$

-7m मा 2m जोड्नुहोस्

$$-5m=1-6$$

-6 मा 1 जोड्नुहोस्

$$-5m=-5$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=1$$

7m+3n=6 मा m लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले n लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7+3n=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7 घटाउनुहोस्।

$$3n=-1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$