समाधान {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2m+3n=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3n घटाउनुहोस्।

$$2m=-3n+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3n+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

\frac{-3n+1}{2} लाई m ले अर्को समीकरण \frac{5}{3}m-2n=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3} लाई \frac{-3n+1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-2n मा -\frac{5n}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{6} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$n=-\frac{1}{27}$$

m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} मा n लाई -\frac{1}{27} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई -\frac{1}{27} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{1}{18} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$m=\frac{5}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m र \frac{5m}{3} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{5}{3} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} बाट \frac{10}{3}m-4n=2 घटाउनुहोस्।

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

-\frac{10m}{3} मा \frac{10m}{3} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{10m}{3} र -\frac{10m}{3} राशी रद्द हुन्छन्।

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

4n मा 5n जोड्नुहोस्

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

-2 मा \frac{5}{3} जोड्नुहोस्

$$9n=-\frac{1}{3}$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-\frac{1}{27}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 मा n लाई -\frac{1}{27} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-2 लाई -\frac{1}{27} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{27} घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$m=\frac{5}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$