\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस्
\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.
ग्राफ
साझेदारी गर्नुहोस्
क्लिपबोर्डमा प्रतिलिपि गरियो
2ax+by=14,-2x+9y=-19
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
2ax+by=14
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
2ax=\left(-b\right)y+14
समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।
x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)
दुबैतिर 2a ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}
\frac{1}{2a} लाई -by+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।
-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19
\frac{-by+14}{2a} लाई x ले अर्को समीकरण -2x+9y=-19 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19
-2 लाई \frac{-by+14}{2a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19
9y मा \frac{by}{a} जोड्नुहोस्
\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}
समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{a} जोड्नुहोस्।
y=\frac{14-19a}{9a+b}
दुबैतिर 9+\frac{b}{a} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} मा y लाई \frac{14-19a}{9a+b} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}
-\frac{b}{2a} लाई \frac{14-19a}{9a+b} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} मा \frac{7}{a} जोड्नुहोस्
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
2ax+by=14,-2x+9y=-19
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
2ax+by=14,-2x+9y=-19
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)
2ax र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2a ले गुणन गर्नुहोस्।
\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a
सरल गर्नुहोस्।
\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 बाट \left(-4a\right)x+18ay=-38a घटाउनुहोस्।
\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
4ax मा -4ax जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4ax र 4ax राशी रद्द हुन्छन्।
\left(-18a-2b\right)y=-28+38a
-18ay मा -2by जोड्नुहोस्
\left(-18a-2b\right)y=38a-28
38a मा -28 जोड्नुहोस्
y=-\frac{19a-14}{9a+b}
दुबैतिर -2b-18a ले भाग गर्नुहोस्।
-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19
-2x+9y=-19 मा y लाई -\frac{-14+19a}{b+9a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19
9 लाई -\frac{-14+19a}{b+9a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}
समीकरणको दुबैतिर \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} जोड्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
2ax+by=14,-2x+9y=-19
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
2ax+by=14
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
2ax=\left(-b\right)y+14
समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।
x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)
दुबैतिर 2a ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}
\frac{1}{2a} लाई -by+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।
-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19
\frac{-by+14}{2a} लाई x ले अर्को समीकरण -2x+9y=-19 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19
-2 लाई \frac{-by+14}{2a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19
9y मा \frac{by}{a} जोड्नुहोस्
\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}
समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{a} जोड्नुहोस्।
y=\frac{14-19a}{9a+b}
दुबैतिर 9+\frac{b}{a} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} मा y लाई \frac{14-19a}{9a+b} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}
-\frac{b}{2a} लाई \frac{14-19a}{9a+b} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} मा \frac{7}{a} जोड्नुहोस्
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
2ax+by=14,-2x+9y=-19
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
2ax+by=14,-2x+9y=-19
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)
2ax र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2a ले गुणन गर्नुहोस्।
\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a
सरल गर्नुहोस्।
\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 बाट \left(-4a\right)x+18ay=-38a घटाउनुहोस्।
\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
4ax मा -4ax जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4ax र 4ax राशी रद्द हुन्छन्।
\left(-18a-2b\right)y=-28+38a
-18ay मा -2by जोड्नुहोस्
\left(-18a-2b\right)y=38a-28
38a मा -28 जोड्नुहोस्
y=-\frac{19a-14}{9a+b}
दुबैतिर -2b-18a ले भाग गर्नुहोस्।
-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19
-2x+9y=-19 मा y लाई -\frac{-14+19a}{b+9a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19
9 लाई -\frac{-14+19a}{b+9a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}
समीकरणको दुबैतिर \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} जोड्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
उदाहरणहरू[सम्पादन गर्ने]
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
म्याट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
भिन्नता
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाहरू
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}