समाधान {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=5$$

$$b=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2a+3b=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3b घटाउनुहोस्।

$$2a=-3b+4$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3b+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

-\frac{3b}{2}+2 लाई a ले अर्को समीकरण -2a+3b=-16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

-2 लाई -\frac{3b}{2}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3b-4+3b=-16$$

3b मा 3b जोड्नुहोस्

$$6b-4=-16$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$6b=-12$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-2$$

a=-\frac{3}{2}b+2 मा b लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

-\frac{3}{2} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=3+2$$

3 मा 2 जोड्नुहोस्

$$a=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=5,b=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=5,b=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2a+3b=4 बाट -2a+3b=-16 घटाउनुहोस्।

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

-3b मा 3b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3b र -3b राशी रद्द हुन्छन्।

$$2a+2a=4+16$$

2a मा 2a जोड्नुहोस्

$$4a=4+16$$

16 मा 4 जोड्नुहोस्

$$4a=20$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=5$$

-2a+3b=-16 मा a लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2\times 5+3b=-16$$

-2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10+3b=-16$$

समीकरणको दुबैतिर 10 जोड्नुहोस्।

$$3b=-6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=5,b=-2$$