समाधान {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 6x+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2-y=12x+6+y$$

दुवै छेउबाट 12x घटाउनुहोस्।

$$2-y-12x=6+y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$2-y-12x-y=6$$

-2y प्राप्त गर्नको लागि -y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$2-2y-12x=6$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-2y-12x=6-2$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 2 बाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-2y-12x=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x+4-3y=0$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$x-3y=-4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-2y-12x=4$$

समीकरणको दुबैतिर 12x जोड्नुहोस्।

$$-2y=12x+4$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

-\frac{1}{2} लाई 12x+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-6x-2$$

-6x-2 लाई y ले अर्को समीकरण -3y+x=-4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

-3 लाई -6x-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$18x+6+x=-4$$

x मा 18x जोड्नुहोस्

$$19x+6=-4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$19x=-10$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{10}{19}$$

y=-6x-2 मा x लाई -\frac{10}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

-6 लाई -\frac{10}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{60}{19}-2$$

\frac{60}{19} मा -2 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{22}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 6x+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2-y=12x+6+y$$

दुवै छेउबाट 12x घटाउनुहोस्।

$$2-y-12x=6+y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$2-y-12x-y=6$$

-2y प्राप्त गर्नको लागि -y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$2-2y-12x=6$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-2y-12x=6-2$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 2 बाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-2y-12x=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x+4-3y=0$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$x-3y=-4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 6x+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2-y=12x+6+y$$

दुवै छेउबाट 12x घटाउनुहोस्।

$$2-y-12x=6+y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$2-y-12x-y=6$$

-2y प्राप्त गर्नको लागि -y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$2-2y-12x=6$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-2y-12x=6-2$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 2 बाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-2y-12x=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x+4-3y=0$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$x-3y=-4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y र -3y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6y+36x=-12 बाट 6y-2x=8 घटाउनुहोस्।

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

-6y मा 6y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6y र -6y राशी रद्द हुन्छन्।

$$36x+2x=-12-8$$

2x मा 36x जोड्नुहोस्

$$38x=-12-8$$

-8 मा -12 जोड्नुहोस्

$$38x=-20$$

दुबैतिर 38 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{10}{19}$$

-3y+x=-4 मा x लाई -\frac{10}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{10}{19} जोड्नुहोस्।

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{22}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$