समाधान {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$16m+50n=55$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 50n घटाउनुहोस्।

$$16m=-50n+55$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

\frac{1}{16} लाई -50n+55 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} लाई m ले अर्को समीकरण 2m+4n=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

2 लाई -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

4n मा -\frac{25n}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{55}{8} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$n=\frac{5}{6}$$

m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16} मा n लाई \frac{5}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{25}{8} लाई \frac{5}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{55}{16} लाई -\frac{125}{48} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$m=\frac{5}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m र 2m लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 16 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 32m+100n=110 बाट 32m+64n=80 घटाउनुहोस्।

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

-32m मा 32m जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 32m र -32m राशी रद्द हुन्छन्।

$$100n-64n=110-80$$

-64n मा 100n जोड्नुहोस्

$$36n=110-80$$

-80 मा 110 जोड्नुहोस्

$$36n=30$$

दुबैतिर 36 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{5}{6}$$

2m+4n=5 मा n लाई \frac{5}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

4 लाई \frac{5}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{10}{3} घटाउनुहोस्।

$$2m=\frac{5}{3}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{5}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$