समाधान {l}{16=3a+b}{24a=155a+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 = 3 a + b } \\ { 24 a = 155 a + b } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=-\frac{1}{8}=-0.125$$

$$b = \frac{131}{8} = 16\frac{3}{8} = 16.375$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3a+b=16$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 155a घटाउनुहोस्।

$$24a-155a=b$$

-131a प्राप्त गर्नको लागि 24a र -155a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-131a=b$$

दुवै छेउबाट b घटाउनुहोस्।

$$-131a-b=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+b=16,-131a-b=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+b=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$3a=-b+16$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-b+16\right)$$

\frac{1}{3} लाई -b+16 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{3}b+\frac{16}{3}$$

\frac{-b+16}{3} लाई a ले अर्को समीकरण -131a-b=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-131\left(-\frac{1}{3}b+\frac{16}{3}\right)-b=0$$

-131 लाई \frac{-b+16}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{131}{3}b-\frac{2096}{3}-b=0$$

-b मा \frac{131b}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{128}{3}b-\frac{2096}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2096}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{128}{3}b=\frac{2096}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{128}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=\frac{131}{8}$$

a=-\frac{1}{3}b+\frac{16}{3} मा b लाई \frac{131}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{3}\times \frac{131}{8}+\frac{16}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{3} लाई \frac{131}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=-\frac{131}{24}+\frac{16}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{16}{3} लाई -\frac{131}{24} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=-\frac{1}{8},b=\frac{131}{8}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3a+b=16$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 155a घटाउनुहोस्।

$$24a-155a=b$$

-131a प्राप्त गर्नको लागि 24a र -155a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-131a=b$$

दुवै छेउबाट b घटाउनुहोस्।

$$-131a-b=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+b=16,-131a-b=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}\\-\frac{-131}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{128}&-\frac{1}{128}\\\frac{131}{128}&\frac{3}{128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{128}\times 16\\\frac{131}{128}\times 16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\\\frac{131}{8}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{8},b=\frac{131}{8}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3a+b=16$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 155a घटाउनुहोस्।

$$24a-155a=b$$

-131a प्राप्त गर्नको लागि 24a र -155a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-131a=b$$

दुवै छेउबाट b घटाउनुहोस्।

$$-131a-b=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+b=16,-131a-b=0$$

3a र -131a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -131 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-131\times 3a-131b=-131\times 16,3\left(-131\right)a+3\left(-1\right)b=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-393a-131b=-2096,-393a-3b=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -393a-131b=-2096 बाट -393a-3b=0 घटाउनुहोस्।

$$-393a+393a-131b+3b=-2096$$

393a मा -393a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -393a र 393a राशी रद्द हुन्छन्।

$$-131b+3b=-2096$$

3b मा -131b जोड्नुहोस्

$$-128b=-2096$$

दुबैतिर -128 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{131}{8}$$

-131a-b=0 मा b लाई \frac{131}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-131a-\frac{131}{8}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{131}{8} जोड्नुहोस्।

$$-131a=\frac{131}{8}$$

दुबैतिर -131 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=-\frac{1}{8},b=\frac{131}{8}$$