समाधान {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$11x+19y=25$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 19y घटाउनुहोस्।

$$11x=-19y+25$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} लाई -19y+25 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

\frac{-19y+25}{11} लाई x ले अर्को समीकरण 19x+11y=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 लाई \frac{-19y+25}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

11y मा -\frac{361y}{11} जोड्नुहोस्

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{475}{11} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{240}{11} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} मा y लाई \frac{31}{24} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{19}{11} लाई \frac{31}{24} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{25}{11} लाई -\frac{589}{264} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{24}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x र 19x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 19 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 11 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 209x+361y=475 बाट 209x+121y=165 घटाउनुहोस्।

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

-209x मा 209x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 209x र -209x राशी रद्द हुन्छन्।

$$361y-121y=475-165$$

-121y मा 361y जोड्नुहोस्

$$240y=475-165$$

-165 मा 475 जोड्नुहोस्

$$240y=310$$

दुबैतिर 240 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15 मा y लाई \frac{31}{24} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 लाई \frac{31}{24} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{341}{24} घटाउनुहोस्।

$$19x=\frac{19}{24}$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{24}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$