समाधान {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=10$$

$$y=14$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$10x+5y=170$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$10x=-5y+170$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} लाई -5y+170 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

-\frac{y}{2}+17 लाई x ले अर्को समीकरण 6x+10y=200 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 लाई -\frac{y}{2}+17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y+102+10y=200$$

10y मा -3y जोड्नुहोस्

$$7y+102=200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 102 घटाउनुहोस्।

$$7y=98$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17 मा y लाई 14 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} लाई 14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-7+17$$

-7 मा 17 जोड्नुहोस्

$$x=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=10,y=14$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=10,y=14$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

सरल गर्नुहोस्।

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 60x+30y=1020 बाट 60x+100y=2000 घटाउनुहोस्।

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

-60x मा 60x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 60x र -60x राशी रद्द हुन्छन्।

$$30y-100y=1020-2000$$

-100y मा 30y जोड्नुहोस्

$$-70y=1020-2000$$

-2000 मा 1020 जोड्नुहोस्

$$-70y=-980$$

दुबैतिर -70 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=14$$

6x+10y=200 मा y लाई 14 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+10\times 14=200$$

10 लाई 14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+140=200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 140 घटाउनुहोस्।

$$6x=60$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=10,y=14$$