समाधान {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 0.2y घटाउनुहोस्।

$$0.9x-0.2y=19$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$0.3x-0.5y=29$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{y}{2} जोड्नुहोस्।

$$0.3x=0.5y+29$$

समीकरणको दुबैतिर 0.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

\frac{10}{3} लाई \frac{y}{2}+29 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

\frac{5y+290}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 0.9x-0.2y=19 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

0.9 लाई \frac{5y+290}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$1.5y+87-0.2y=19$$

-\frac{y}{5} मा \frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$1.3y+87=19$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 87 घटाउनुहोस्।

$$1.3y=-68$$

समीकरणको दुबैतिर 1.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{680}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3} मा y लाई -\frac{680}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{3} लाई -\frac{680}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{290}{3} लाई -\frac{3400}{39} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{370}{39}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 0.2y घटाउनुहोस्।

$$0.9x-0.2y=19$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 0.2y घटाउनुहोस्।

$$0.9x-0.2y=19$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

\frac{3x}{10} र \frac{9x}{10} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

सरल गर्नुहोस्।

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 0.27x-0.45y=26.1 बाट 0.27x-0.06y=5.7 घटाउनुहोस्।

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

-\frac{27x}{100} मा \frac{27x}{100} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{27x}{100} र -\frac{27x}{100} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

\frac{3y}{50} मा -\frac{9y}{20} जोड्नुहोस्

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 26.1 लाई -5.7 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$-0.39y=20.4$$

समीकरणको दुबैतिर -0.39 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{680}{13}$$

0.9x-0.2y=19 मा y लाई -\frac{680}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -0.2 लाई -\frac{680}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{136}{13} घटाउनुहोस्।

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

समीकरणको दुबैतिर 0.9 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{370}{39}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$