समाधान {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$0.6x+2y=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$0.6x=-2y+20$$

समीकरणको दुबैतिर 0.6 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

\frac{5}{3} लाई -2y+20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

\frac{-10y+100}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -4x+y+2=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

-4 लाई \frac{-10y+100}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

y मा \frac{40y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

2 मा -\frac{400}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{394}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{43}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{391}{43}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3} मा y लाई \frac{391}{43} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{10}{3} लाई \frac{391}{43} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{100}{3} लाई -\frac{3910}{129} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{130}{43}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5} र -4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2.4x-8y=-80 बाट -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 घटाउनुहोस्।

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

\frac{12x}{5} मा -\frac{12x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{12x}{5} र \frac{12x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

-\frac{3y}{5} मा -8y जोड्नुहोस्

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

0.6 मा -80 जोड्नुहोस्

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

समीकरणको दुबैतिर 1.2 जोड्नुहोस्।

$$-8.6y=-78.2$$

समीकरणको दुबैतिर -8.6 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{391}{43}$$

-4x+y+2=-1 मा y लाई \frac{391}{43} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

2 मा \frac{391}{43} जोड्नुहोस्

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{477}{43} घटाउनुहोस्।

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{130}{43}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$