समाधान {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-x+5y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$-x=-5y+1$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

-1 लाई -5y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=5y-1$$

5y-1 लाई x ले अर्को समीकरण -2x-5y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

-2 लाई 5y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10y+2-5y=11$$

-5y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-15y+2=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-15y=9$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=5y-1 मा y लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

5 लाई -\frac{3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-3-1$$

-3 मा -1 जोड्नुहोस्

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

-x र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-10y=-2 बाट 2x+5y=-11 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-10y-5y=-2+11$$

-5y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-15y=-2+11$$

11 मा -2 जोड्नुहोस्

$$-15y=9$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}$$

-2x-5y=11 मा y लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

-5 लाई -\frac{3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x+3=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-2x=8$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$