समाधान {l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-4x+3y=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$-4x=-3y+13$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

-\frac{1}{4} लाई -3y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

\frac{3y-13}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 15x+3y=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

15 लाई \frac{3y-13}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

3y मा \frac{45y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{195}{4} जोड्नुहोस्।

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{57}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=3$$

x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4} मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

\frac{3}{4} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9-13}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{13}{4} लाई \frac{9}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x+3y=13 बाट 15x+3y=-6 घटाउनुहोस्।

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

-3y मा 3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3y र -3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-4x-15x=13+6$$

-15x मा -4x जोड्नुहोस्

$$-19x=13+6$$

6 मा 13 जोड्नुहोस्

$$-19x=19$$

दुबैतिर -19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

15x+3y=-6 मा x लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

15 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-15+3y=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$3y=9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=3$$