समाधान {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=1$$

$$b=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4a घटाउनुहोस्।

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a प्राप्त गर्नको लागि -3a र -4a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7a=2b-3$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

-\frac{1}{7} लाई 2b-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

\frac{-2b+3}{7} लाई a ले अर्को समीकरण -2a-b=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

-2 लाई \frac{-2b+3}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

-b मा \frac{4b}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{6}{7} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=-2$$

a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7} मा b लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

-\frac{2}{7} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{4+3}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{7} लाई \frac{4}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=1,b=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4a घटाउनुहोस्।

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a प्राप्त गर्नको लागि -3a र -4a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7a=2b-3$$

दुवै छेउबाट 2b घटाउनुहोस्।

$$-7a-2b=-3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। शून्यले गरिने भाग परिभाषित नभएकाले चर a 0 सँग बराबर हुन सक्दैन। समीकरणको दुबैतिर 2a ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-b=2a$$

दुवै छेउबाट 2a घटाउनुहोस्।

$$-b-2a=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=1,b=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4a घटाउनुहोस्।

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a प्राप्त गर्नको लागि -3a र -4a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7a=2b-3$$

दुवै छेउबाट 2b घटाउनुहोस्।

$$-7a-2b=-3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। शून्यले गरिने भाग परिभाषित नभएकाले चर a 0 सँग बराबर हुन सक्दैन। समीकरणको दुबैतिर 2a ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-b=2a$$

दुवै छेउबाट 2a घटाउनुहोस्।

$$-b-2a=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

-7a र -2a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 14a+4b=6 बाट 14a+7b=0 घटाउनुहोस्।

$$14a-14a+4b-7b=6$$

-14a मा 14a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 14a र -14a राशी रद्द हुन्छन्।

$$4b-7b=6$$

-7b मा 4b जोड्नुहोस्

$$-3b=6$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-2$$

-2a-b=0 मा b लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-2a=-2$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=1,b=-2$$