समाधान {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-10x-3y=9$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$-10x=3y+9$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

-\frac{1}{10} लाई 9+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

\frac{-3y-9}{10} लाई x ले अर्को समीकरण -5x+5y=-2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

-5 लाई \frac{-3y-9}{10} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

5y मा \frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

-\frac{3}{10} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3-9}{10}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{9}{10} लाई \frac{3}{10} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

-10x र -5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 50x+15y=-45 बाट 50x-50y=20 घटाउनुहोस्।

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

-50x मा 50x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 50x र -50x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y+50y=-45-20$$

50y मा 15y जोड्नुहोस्

$$65y=-45-20$$

-20 मा -45 जोड्नुहोस्

$$65y=-65$$

दुबैतिर 65 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

-5x+5y=-2 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

5 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x-5=-2$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$-5x=3$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$