समाधान {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \left(x-2\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 लाई x-2y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x प्राप्त गर्नको लागि -4x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

मानौं \left(3-x\right)\left(3+x\right)। गुणनलाई नियम प्रयोग गरेर वर्गहरूको फरकमा ढाल्न सकिन्छ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}। 3 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 प्राप्त गर्नको लागि 9 बाट 1 घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

दुवै छेउबाट x^{2} घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 प्राप्त गर्नको लागि x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-6x+4+4y=-8$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 प्राप्त गर्नको लागि 4 बाट -8 घटाउनुहोस्।

$$-6x+4y=-12$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-6x+4y=-12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$-6x=-4y-12$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

-\frac{1}{6} लाई -4y-12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

\frac{2y}{3}+2 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

2 लाई \frac{2y}{3}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

y मा \frac{4y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{3}y=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0$$

x=\frac{2}{3}y+2 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \left(x-2\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 लाई x-2y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x प्राप्त गर्नको लागि -4x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

मानौं \left(3-x\right)\left(3+x\right)। गुणनलाई नियम प्रयोग गरेर वर्गहरूको फरकमा ढाल्न सकिन्छ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}। 3 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 प्राप्त गर्नको लागि 9 बाट 1 घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

दुवै छेउबाट x^{2} घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 प्राप्त गर्नको लागि x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-6x+4+4y=-8$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 प्राप्त गर्नको लागि 4 बाट -8 घटाउनुहोस्।

$$-6x+4y=-12$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। \left(x-2\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 लाई x-2y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x प्राप्त गर्नको लागि -4x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

मानौं \left(3-x\right)\left(3+x\right)। गुणनलाई नियम प्रयोग गरेर वर्गहरूको फरकमा ढाल्न सकिन्छ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}। 3 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 प्राप्त गर्नको लागि 9 बाट 1 घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

दुवै छेउबाट x^{2} घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 प्राप्त गर्नको लागि x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-6x+4+4y=-8$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 प्राप्त गर्नको लागि 4 बाट -8 घटाउनुहोस्।

$$-6x+4y=-12$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

-6x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -12x+8y=-24 बाट -12x-6y=-24 घटाउनुहोस्।

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

12x मा -12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -12x र 12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8y+6y=-24+24$$

6y मा 8y जोड्नुहोस्

$$14y=-24+24$$

24 मा -24 जोड्नुहोस्

$$14y=0$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

2x+y=4 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x=4$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=0$$