समाधान {l}{(x+2)(5-y)+2=x(1-y)}{2(x-3y)-3(x+y)+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ( 5 - y ) + 2 = x ( 1 - y ) } \\ { 2 ( x - 3 y ) - 3 ( x + y ) + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x+2 लाई 5-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-xy+10-2y+2=x\left(1-y\right)$$

12 प्राप्त गर्नको लागि 10 र 2 जोड्नुहोस्।

$$5x-xy+12-2y=x\left(1-y\right)$$

x लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-xy+12-2y=x-xy$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$5x-xy+12-2y-x=-xy$$

4x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4x-xy+12-2y=-xy$$

दुबै छेउहरूमा xy थप्नुहोस्।

$$4x-xy+12-2y+xy=0$$

0 प्राप्त गर्नको लागि -xy र xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4x+12-2y=0$$

दुवै छेउबाट 12 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$4x-2y=-12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x-3y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y-3\left(x+y\right)+16=0$$

-3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y-3x-3y+16=0$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -3x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x-6y-3y+16=0$$

-9y प्राप्त गर्नको लागि -6y र -3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x-9y+16=0$$

दुवै छेउबाट 16 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-x-9y=-16$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-2y=-12,-x-9y=-16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-2y=-12$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$4x=2y-12$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-12\right)$$

\frac{1}{4} लाई -12+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

\frac{y}{2}-3 लाई x ले अर्को समीकरण -x-9y=-16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(\frac{1}{2}y-3\right)-9y=-16$$

-1 लाई \frac{y}{2}-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y+3-9y=-16$$

-9y मा -\frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{19}{2}y+3=-16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{19}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=\frac{1}{2}y-3 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

\frac{1}{2} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=1-3$$

1 मा -3 जोड्नुहोस्

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x+2 लाई 5-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-xy+10-2y+2=x\left(1-y\right)$$

12 प्राप्त गर्नको लागि 10 र 2 जोड्नुहोस्।

$$5x-xy+12-2y=x\left(1-y\right)$$

x लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-xy+12-2y=x-xy$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$5x-xy+12-2y-x=-xy$$

4x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4x-xy+12-2y=-xy$$

दुबै छेउहरूमा xy थप्नुहोस्।

$$4x-xy+12-2y+xy=0$$

0 प्राप्त गर्नको लागि -xy र xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4x+12-2y=0$$

दुवै छेउबाट 12 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$4x-2y=-12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x-3y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y-3\left(x+y\right)+16=0$$

-3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y-3x-3y+16=0$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -3x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x-6y-3y+16=0$$

-9y प्राप्त गर्नको लागि -6y र -3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x-9y+16=0$$

दुवै छेउबाट 16 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-x-9y=-16$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-2y=-12,-x-9y=-16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{38}&-\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{38}\left(-12\right)-\frac{1}{19}\left(-16\right)\\-\frac{1}{38}\left(-12\right)-\frac{2}{19}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x+2 लाई 5-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-xy+10-2y+2=x\left(1-y\right)$$

12 प्राप्त गर्नको लागि 10 र 2 जोड्नुहोस्।

$$5x-xy+12-2y=x\left(1-y\right)$$

x लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-xy+12-2y=x-xy$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$5x-xy+12-2y-x=-xy$$

4x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4x-xy+12-2y=-xy$$

दुबै छेउहरूमा xy थप्नुहोस्।

$$4x-xy+12-2y+xy=0$$

0 प्राप्त गर्नको लागि -xy र xy लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$4x+12-2y=0$$

दुवै छेउबाट 12 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$4x-2y=-12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई x-3y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y-3\left(x+y\right)+16=0$$

-3 लाई x+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-6y-3x-3y+16=0$$

-x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -3x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x-6y-3y+16=0$$

-9y प्राप्त गर्नको लागि -6y र -3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-x-9y+16=0$$

दुवै छेउबाट 16 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-x-9y=-16$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-2y=-12,-x-9y=-16$$

4x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x-\left(-2y\right)=-\left(-12\right),4\left(-1\right)x+4\left(-9\right)y=4\left(-16\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-4x+2y=12,-4x-36y=-64$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x+2y=12 बाट -4x-36y=-64 घटाउनुहोस्।

$$-4x+4x+2y+36y=12+64$$

4x मा -4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4x र 4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y+36y=12+64$$

36y मा 2y जोड्नुहोस्

$$38y=12+64$$

64 मा 12 जोड्नुहोस्

$$38y=76$$

दुबैतिर 38 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

-x-9y=-16 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x-9\times 2=-16$$

-9 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x-18=-16$$

समीकरणको दुबैतिर 18 जोड्नुहोस्।

$$-x=2$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=2$$