समाधान {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 2,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-3y-2y=6$$

-5y प्राप्त गर्नको लागि -3y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x+\frac{1}{2}y प्राप्त गर्न 2x+y को प्रत्येकलाई 2 ले विभाजन गर्नुहोस्।

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$3x=5y+6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

\frac{1}{3} लाई 5y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

\frac{5y}{3}+2 लाई x ले अर्को समीकरण x-\frac{1}{2}y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

-\frac{y}{2} मा \frac{5y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{6}y=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{6} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{12}{7}$$

x=\frac{5}{3}y+2 मा y लाई -\frac{12}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{3} लाई -\frac{12}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

-\frac{20}{7} मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{6}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 2,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-3y-2y=6$$

-5y प्राप्त गर्नको लागि -3y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x+\frac{1}{2}y प्राप्त गर्न 2x+y को प्रत्येकलाई 2 ले विभाजन गर्नुहोस्।

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 2,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-3y-2y=6$$

-5y प्राप्त गर्नको लागि -3y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x+\frac{1}{2}y प्राप्त गर्न 2x+y को प्रत्येकलाई 2 ले विभाजन गर्नुहोस्।

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{2}y र -y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

3x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x-5y=6 बाट 3x-\frac{3}{2}y=0 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

\frac{3y}{2} मा -5y जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{2}y=6$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{12}{7}$$

x-\frac{1}{2}y=0 मा y लाई -\frac{12}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई -\frac{12}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x+\frac{6}{7}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{6}{7} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{6}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$