समाधान {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=2$$

$$b=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 प्राप्त गर्नको लागि 2 बाट 4 घटाउनुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

64 लाई \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

64 र 4 मा सबैभन्दा ठूलो साझा गुणनखण्ड 4 रद्द गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 64\ln(2)b घटाउनुहोस्।

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

\frac{1}{16} लाई -64\ln(2)b+32+64\ln(2) पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

-4\ln(2)b+2+4\ln(2) लाई a ले अर्को समीकरण a-2b=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

-2b मा -4\ln(2)b जोड्नुहोस्

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2+4\ln(2) घटाउनुहोस्।

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

दुबैतिर -4\ln(2)-2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=1$$

a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2 मा b लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

-4\ln(2) मा 2+4\ln(2) जोड्नुहोस्

$$a=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=2,b=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 प्राप्त गर्नको लागि 2 बाट 4 घटाउनुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

64 लाई \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

64 र 4 मा सबैभन्दा ठूलो साझा गुणनखण्ड 4 रद्द गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=2,b=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 प्राप्त गर्नको लागि 2 बाट 4 घटाउनुहोस्।

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

64 लाई \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

64 र 4 मा सबैभन्दा ठूलो साझा गुणनखण्ड 4 रद्द गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

16a र a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 16 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 बाट 16a-32b=0 घटाउनुहोस्।

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

-16a मा 16a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 16a र -16a राशी रद्द हुन्छन्।

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

32b मा 64\ln(2)b जोड्नुहोस्

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

दुबैतिर 32+64\ln(2) ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=1$$

a-2b=0 मा b लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a-2=0$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$a=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=2,b=1$$