समाधान {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 प्राप्त गर्नको लागि 4 बाट -5 घटाउनुहोस्।

$$2x-9+3y=-1$$

दुबै छेउहरूमा 9 थप्नुहोस्।

$$2x+3y=-1+9$$

8 प्राप्त गर्नको लागि -1 र 9 जोड्नुहोस्।

$$2x+3y=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$y-x=5$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+3y=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$2x=-3y+8$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

-\frac{3y}{2}+4 लाई x ले अर्को समीकरण -x+y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

-1 लाई -\frac{3y}{2}+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

y मा \frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$\frac{5}{2}y=9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{18}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+4 मा y लाई \frac{18}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई \frac{18}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

-\frac{27}{5} मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{7}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 प्राप्त गर्नको लागि 4 बाट -5 घटाउनुहोस्।

$$2x-9+3y=-1$$

दुबै छेउहरूमा 9 थप्नुहोस्।

$$2x+3y=-1+9$$

8 प्राप्त गर्नको लागि -1 र 9 जोड्नुहोस्।

$$2x+3y=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$y-x=5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 प्राप्त गर्नको लागि 4 बाट -5 घटाउनुहोस्।

$$2x-9+3y=-1$$

दुबै छेउहरूमा 9 थप्नुहोस्।

$$2x+3y=-1+9$$

8 प्राप्त गर्नको लागि -1 र 9 जोड्नुहोस्।

$$2x+3y=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$y-x=5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

2x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2x-3y=-8 बाट -2x+2y=10 घटाउनुहोस्।

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

2x मा -2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2x र 2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-2y=-8-10$$

-2y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-5y=-8-10$$

-10 मा -8 जोड्नुहोस्

$$-5y=-18$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{18}{5}$$

-x+y=5 मा y लाई \frac{18}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{18}{5} घटाउनुहोस्।

$$-x=\frac{7}{5}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$