समाधान {l}{1/3x=1/4y}{1/4x-1/6y=100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x = \frac { 1 } { 4 } y } \\ { \frac { 1 } { 4 } x - \frac { 1 } { 6 } y = 100 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3600$$

$$y=4800$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{4}y घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{y}{4} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x=\frac{1}{4}y$$

दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=3\times \frac{1}{4}y$$

3 लाई \frac{y}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}y$$

\frac{3y}{4} लाई x ले अर्को समीकरण \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}y-\frac{1}{6}y=100$$

\frac{1}{4} लाई \frac{3y}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{16}y-\frac{1}{6}y=100$$

-\frac{y}{6} मा \frac{3y}{16} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{48}y=100$$

दुबैतिर 48 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=4800$$

x=\frac{3}{4}y मा y लाई 4800 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{4}\times 4800$$

\frac{3}{4} लाई 4800 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=3600$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3600,y=4800$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{4}y घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&36\\-36&48\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\times 100\\48\times 100\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\4800\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3600,y=4800$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{4}y घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100$$

\frac{x}{3} र \frac{x}{4} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{4} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{3} ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)y=0,\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{3}\times 100$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{16}y=0,\frac{1}{12}x-\frac{1}{18}y=\frac{100}{3}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{1}{12}x-\frac{1}{16}y=0 बाट \frac{1}{12}x-\frac{1}{18}y=\frac{100}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{1}{16}y+\frac{1}{18}y=-\frac{100}{3}$$

-\frac{x}{12} मा \frac{x}{12} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{x}{12} र -\frac{x}{12} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-\frac{1}{16}y+\frac{1}{18}y=-\frac{100}{3}$$

\frac{y}{18} मा -\frac{y}{16} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{144}y=-\frac{100}{3}$$

दुबैतिर -144 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=4800$$

\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100 मा y लाई 4800 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times 4800=100$$

-\frac{1}{6} लाई 4800 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}x-800=100$$

समीकरणको दुबैतिर 800 जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}x=900$$

दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=3600$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3600,y=4800$$