समाधान {l}{1/2(3a+3b)=4}{1/3(6a-b)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 3 a + 3 b ) = 4 } \\ { \frac { 1 } { 3 } ( 6 a - b ) = 3 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर \frac{1}{2} को रेसिप्रोकल 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3a+3b=4\times 2$$

8 प्राप्त गर्नको लागि 4 र 2 गुणा गर्नुहोस्।

$$3a+3b=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर \frac{1}{3} को रेसिप्रोकल 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6a-b=3\times 3$$

9 प्राप्त गर्नको लागि 3 र 3 गुणा गर्नुहोस्।

$$6a-b=9$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+3b=8,6a-b=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+3b=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3b घटाउनुहोस्।

$$3a=-3b+8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-3b+8\right)$$

\frac{1}{3} लाई -3b+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-b+\frac{8}{3}$$

-b+\frac{8}{3} लाई a ले अर्को समीकरण 6a-b=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-b+\frac{8}{3}\right)-b=9$$

6 लाई -b+\frac{8}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6b+16-b=9$$

-b मा -6b जोड्नुहोस्

$$-7b+16=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16 घटाउनुहोस्।

$$-7b=-7$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=1$$

a=-b+\frac{8}{3} मा b लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-1+\frac{8}{3}$$

-1 मा \frac{8}{3} जोड्नुहोस्

$$a=\frac{5}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{5}{3},b=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर \frac{1}{2} को रेसिप्रोकल 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3a+3b=4\times 2$$

8 प्राप्त गर्नको लागि 4 र 2 गुणा गर्नुहोस्।

$$3a+3b=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर \frac{1}{3} को रेसिप्रोकल 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6a-b=3\times 3$$

9 प्राप्त गर्नको लागि 3 र 3 गुणा गर्नुहोस्।

$$6a-b=9$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+3b=8,6a-b=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-1\right)-3\times 6}&\frac{3}{3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 8+\frac{1}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 8-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{5}{3},b=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर \frac{1}{2} को रेसिप्रोकल 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3a+3b=4\times 2$$

8 प्राप्त गर्नको लागि 4 र 2 गुणा गर्नुहोस्।

$$3a+3b=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर \frac{1}{3} को रेसिप्रोकल 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6a-b=3\times 3$$

9 प्राप्त गर्नको लागि 3 र 3 गुणा गर्नुहोस्।

$$6a-b=9$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+3b=8,6a-b=9$$

3a र 6a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 3a+6\times 3b=6\times 8,3\times 6a+3\left(-1\right)b=3\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$18a+18b=48,18a-3b=27$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18a+18b=48 बाट 18a-3b=27 घटाउनुहोस्।

$$18a-18a+18b+3b=48-27$$

-18a मा 18a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18a र -18a राशी रद्द हुन्छन्।

$$18b+3b=48-27$$

3b मा 18b जोड्नुहोस्

$$21b=48-27$$

-27 मा 48 जोड्नुहोस्

$$21b=21$$

दुबैतिर 21 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=1$$

6a-b=9 मा b लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6a-1=9$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$6a=10$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{5}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{5}{3},b=1$$