समाधान {c}{4x-y=18}{3x+5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = 18 } \\ { 3 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-y=18$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$4x=y+18$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(y+18\right)$$

\frac{1}{4} लाई y+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}$$

\frac{y}{4}+\frac{9}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+5y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}\right)+5y=2$$

3 लाई \frac{y}{4}+\frac{9}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{4}y+\frac{27}{2}+5y=2$$

5y मा \frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{23}{4}y+\frac{27}{2}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{27}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{23}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-2$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

\frac{1}{4} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-1+9}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{2} लाई -\frac{1}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 18+\frac{1}{23}\times 2\\-\frac{3}{23}\times 18+\frac{4}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\times 5y=4\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x-3y=54,12x+20y=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x-3y=54 बाट 12x+20y=8 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x-3y-20y=54-8$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-20y=54-8$$

-20y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-23y=54-8$$

-8 मा 54 जोड्नुहोस्

$$-23y=46$$

दुबैतिर -23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

3x+5y=2 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+5\left(-2\right)=2$$

5 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-10=2$$

समीकरणको दुबैतिर 10 जोड्नुहोस्।

$$3x=12$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=-2$$