समाधान {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2y+5x=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5x घटाउनुहोस्।

$$2y=-5x+12$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

\frac{1}{2} लाई -5x+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

-\frac{5x}{2}+6 लाई y ले अर्को समीकरण -6y-2x=-24 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-6 लाई -\frac{5x}{2}+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15x-36-2x=-24$$

-2x मा 15x जोड्नुहोस्

$$13x-36=-24$$

समीकरणको दुबैतिर 36 जोड्नुहोस्।

$$13x=12$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6 मा x लाई \frac{12}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{2} लाई \frac{12}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

-\frac{30}{13} मा 6 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{48}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y र -6y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -12y-30x=-72 बाट -12y-4x=-48 घटाउनुहोस्।

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

12y मा -12y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -12y र 12y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-30x+4x=-72+48$$

4x मा -30x जोड्नुहोस्

$$-26x=-72+48$$

48 मा -72 जोड्नुहोस्

$$-26x=-24$$

दुबैतिर -26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24 मा x लाई \frac{12}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

-2 लाई \frac{12}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{24}{13} जोड्नुहोस्।

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{48}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$