समाधान 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

x को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2.375+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2.375-1.452368755i$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

गुणनखण्ड \frac{-2}{3} लाई ऋणात्मक चिन्ह हटाएर -\frac{2}{3} को रूपमा पुन: लेखन गर्न सकिन्छ।

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{1}{9} प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{6} र -\frac{2}{3} गुणा गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{1}{9} लाई 4x+5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} लाई 2x+7 ले गुणन गरेर पदहरू जस्तै गरी संयोजन गर्न वितरणमूलक गुण प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

दुवै छेउबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

-\frac{62}{9} प्राप्त गर्नको लागि 3 बाट -\frac{35}{9} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई -\frac{8}{9} ले, b लाई -\frac{38}{9} ले र c लाई -\frac{62}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{38}{9} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-4 लाई -\frac{8}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{32}{9} लाई -\frac{62}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1444}{81} लाई -\frac{1984}{81} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{20}{3} को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{38}{9} विपरीत \frac{38}{9}हो।

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

2 लाई -\frac{8}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। \frac{2i\sqrt{15}}{3} मा \frac{38}{9} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

-\frac{16}{9} को उल्टोले \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} लाई गुणन गरी \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} लाई -\frac{16}{9} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। \frac{38}{9} बाट \frac{2i\sqrt{15}}{3} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

-\frac{16}{9} को उल्टोले \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} लाई गुणन गरी \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} लाई -\frac{16}{9} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

गुणनखण्ड \frac{-2}{3} लाई ऋणात्मक चिन्ह हटाएर -\frac{2}{3} को रूपमा पुन: लेखन गर्न सकिन्छ।

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{1}{9} प्राप्त गर्नको लागि \frac{1}{6} र -\frac{2}{3} गुणा गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{1}{9} लाई 4x+5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} लाई 2x+7 ले गुणन गरेर पदहरू जस्तै गरी संयोजन गर्न वितरणमूलक गुण प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

दुबै छेउहरूमा \frac{35}{9} थप्नुहोस्।

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

\frac{62}{9} प्राप्त गर्नको लागि 3 र \frac{35}{9} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{8}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9} द्वारा भाग गर्नाले -\frac{8}{9} द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9} को उल्टोले -\frac{38}{9} लाई गुणन गरी -\frac{38}{9} लाई -\frac{8}{9} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9} को उल्टोले \frac{62}{9} लाई गुणन गरी \frac{62}{9} लाई -\frac{8}{9} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

2 द्वारा \frac{19}{8} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{19}{4} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{19}{8} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{19}{8} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{31}{4} लाई \frac{361}{64} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

कारक x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{19}{8} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$